רציפות של פונקציה מרובת משתנים:

• הגדרה: נגיד כי f(x,y) רציפה בנקודה $M_0(x_0,y_0)$ אם היא מוגדרת בסביבה $m_0$ ומתקיים $\underset{(x,y\to M_0)}{lim}f(x,y)=f(M_0)$

• תוספת: נגיד כי f(x,y) רציפה בקבוצה $D\subseteq R^2$ אם f רציפה בכל נק' ב- D

• לדוגמא:

  • האם הפונקציה $f(x,y)=\lfloor x\cdot y\rfloor$ רציפה בנק' (0,0)?
  • פתרון:
    • ראשית, נציב (0, 0) ונוכל לראות שהגבול שווה ל-0.
    • נבדוק $a_n,b_n$ כלשהם: $f(\frac{(-1{)}^n}{n},\frac{1}{n})=\lfloor \frac{(-1{)}^n}{n^2}\rfloor$
    • נראה כי נקבל 0 עבור ערכי n זוגיים ו 1- עבור ערכי n אי זוגיים.
    • מתקיים ש: $\underset{n\to 0}{lim}f(a_n,b_n)$ לא קיים -> מהיינה הגבול לא קיים -> לא רציפה ב (0,0).

• אריתמטיקה:

  • אם f(x,y) , g(x,y) רציפות ב $M_0$ אז גם התוצאה של פעולת: חיבור / חיסור / כפל בין f ל - g רציפה ב $M_0$
  • אם $g(M_0)\ne 0$ אז גם פעולת החילוק של f ב - g רציפה ב - $M_0$
  • לדוגמא:
    • הפונקציה $f(x,y)=\frac{x^2\cdot y+y^4\cdot x}{x^2+y^4}$ רציפה בכל נק $(x_0,y_0)\ne (0,0)$ כי כל אחד מהנעלמים הוא פונ' של משתנה אחד שרציפה ב $(x_0,y_0)$ ולכן גם רציפה כפונ' של שני משתנים ב- $(x_0,y_0)$.
    • לכן הפונ' הבאה רציפה ב $R^2$: $$g(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y + y^4x}{x^2 + y^4} & : (x,y) \neq 0 \ 0 & : (x,y) = 0 \end{cases}$$

הרכבת פונקציות:

• לדוגמא: $h(x,y)=e^{x^2+y^2}$
• הפונקציה: $f(x,y)=x^2+y^2$ רציפה בכל נק' $(x_0,y_0)$.
• נסמן גם $g(t)=e^t$ רציפה בכל נק' $(t_0)$.
• טענה:
  • ההרבה של פונ' f(x,y), g(t) שהן רציפות ((x,y)f רציפה ב- $M_0$ ו - g(t) רציפה בנק' $f(m_0)$) היא פונ' רציפה בנק $M_0$
• מסקנה:
  • כל פונקציה שהיא מורכבת מחיבור / חיסור / כפל / חילוק / הרכבה (ללא הגבלת פעמים) של פונקציות אלמנטריות של משתנה אחד x או y נקראת פונקציה אלמנטרית f(x,y):
    • כל פונקציה אלמנטרית היא רציפה בתחום הגדרתה.

קו גובה:

• עוזר לנו להבין איך נראה גרף של פונ' f(x,y).
• הגדרה:
  • עבור פונ' f(x,y) נגדיר את קו הגובה שלה שמתאים למספר c, להיות: $\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}$
• לדוגמא:
  • 
• בפועל, כל קו גובה (צורת המעגלים על הרצפה) מקבל גובה , ואחרי כמות מסוימת של קוי גובה שהרמנו נוכלל לסרטט את הפונ' (מופיעה כקו לא מקווקו):
•